Интересно, что дальше? В бетон закатают, как живое свидетельство истории, вставшее на пути истории новейшей?

С большой долей уверенности можно сказать, что это элемент системы отопления Успенского собора. По этому ходу шли трубы с теплым воздухом или паром от печи, которая помещалась как раз в подвале архиерейского дома (бывший вестибюль театра). Так было устроено отопление собора с 1905 года. Общество "Саровская пустынь" тоже в конце 1980-х приняла этот тоннель за "подземный ход", имеющий отношение к пещерам, но они проникли тогда с другой стороны — из подвала театра.

А Вы откуда знаете, что "Саровская пустынь" в конце 80-х проникла в этот ход.

Этот ход является трубой "калорифера" если можно так сказать. Печь находилась в трапезном корпусе, от нее под землей по этому ходу поступал в Успенский собор теплый воздух. Насколько мне известно, архитектору не ставилась задача сохранить этот ход. Восстанавливаемый заново собор будет отапливаться современными способами. А хорошо бы его сохранить как музейный объект, сделать к нему подход и т.д. Если захотеть, можно интересно придумать.